Question

【题目】已知， .

（Ⅰ）求函数图象恒过的定点坐标；

（Ⅱ）若恒成立，求的值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）成立的条件下，证明： 存在唯一的极小值点，且.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）见解析

【解析】试题分析：

(Ⅰ)因为要使参数对函数值不发生影响，所以必须保证，据此可得函数的图象恒过点.

(Ⅱ)原问题等价于恒成立.构造函数，分类讨论有：

①若时， 不能恒成立.

②若时， 在时为极小值点， ，满足题意时只需.讨论可得要使函数成立，只有在时成立.

(Ⅲ)结合(Ⅱ)的结论有，构造函数，结合函数的性质可得一定有2个零点，分别为的一个极大值点和一个极小值点，则函数在区间上存在一个极值点，所以最小极值点在内.据此整理计算可得.

试题解析：

（Ⅰ）因为要使参数对函数值不发生影响，所以必须保证，

此时，所以函数的图象恒过点.

（Ⅱ）依题意得： 恒成立，∴恒成立.

构造函数，

则恒过， ，

①若时， ，∴在上递增，

∴不能恒成立.

②若时， ，∴.

∵时， ，函数单调递减；

时， ，函数单调递增，

∴在时为极小值点， ，

∴要使恒成立，只需.

设，则函数恒过，

，

， ，函数单调递增；

， ，函数单调递减，

∴在取得极大值0，

∴要使函数成立，只有在时成立.

（Ⅲ），设

，令，

∴在单调递减，在单调递增，

在处取得极小值

可得一定有2个零点，分别为的一个极大值点和一个极小值点

设为函数的极小值点，则，∴， ，

因为，因为，

所以在区间上存在一个极值点，所以最小极值点在内.

∵函数的极小值点的横坐标，

∴函数的极小值，∴.