Question

【题目】如图， 为正方形， 为直角梯形， ，平面平面，且.

（1）若和延长交于点，求证： 平面；

（2）若为边上的动点，求直线与平面所成角正弦值的最小值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）先根据三角形中位线性质得为中点，再根据为平行四边形得，最后根据线面平行判定定理得结论,（2）利用空间向量求线面角,关键求出平面法向量:先建立空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组求出平面法向量,根据向量数量积求出直线方向向量与平面法向量夹角的余弦值,最后根据线面角与两向量夹角之间关系求线面角正弦值,再根据自变量取值范围求最小值.

试题解析：（1）证明：在梯形PDCE中，PD＝2EC， 为中点， ，且AB//CF， 为平行四边形， 面， 面， BF∥平面PAC.

（2）方法一：令点在面PBD上的射影为， 直线与平面PDB所成角．

EC∥PD，所以EC平行于平面PBD，因为ABCD为正方形，所以，又因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AC，所以AC⊥平面PBD，所以点C到面PBD的距离为，因为EC平行于平面PBD，所以点到PBD的距离，

令，所以，所以．

方法二：建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，可知平面PDB的一个法向量为， ， ，

，令直线与平面PDB所成角为，

．