Question

【题目】

如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，．

（1）若点，分别为，的中点，求证：平面平面；

（2）在线段上是否存在一点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

（1）四边形ADD1A1为正方形，连接AD1，设A1D∩AD1＝F，则F是AD1的中点，

又点E为AB的中点，连接EF，则EF为△ABD1的中位线，所以EF∥BD1．

又BD1平面A1DE，EF平面A1DE，所以BD1∥平面A1DE．（3分）

因为BH//DE，且DE平面A1DE，BH平面A1DE，所以BH∥平面A1DE，

又BD1BH=B，所以平面平面．（5分）

（2）根据题意，得DD1⊥DA，D1D⊥DC，AD⊥DC，则以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则D(0，0，0)，D1(0，0，1)，C(0，2，0)．（7分）

假设满足条件的点E存在，且点E的纵坐标为，则E(1，，0)(0≤≤2)，

＝(－1，2－，0)，＝(0，2，－1)，

设＝(x1，y1，z1)是平面D1EC的法向量，则，即，

令＝1，则平面D1EC的一个法向量为＝(2－，1，2)．（9分）

由题意，知平面DEC的一个法向量为＝(0，0，1)．（10分）

由二面角的大小为，得＝＝＝，

解得＝[0，2]．

所以在线段上不存在一点，使二面角的大小为．（12分）