Question

已知圆C的方程是（x-1）²+（y-1）²=4，直线l的方程为y=x+m，求：当m为何值时
（1）直线平分圆；
（2）直线与圆相切；
（3）直线与圆有两个公共点．

Answer 1

分析：（1）根据题意，由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径r，直线平分圆即直线过圆心，所以把圆心坐标代入直线方程中即可求出m的值；
（2）直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，所以利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，让d等于圆的半径列出关于m的方程，求出方程的解即可得到符合题意m的值；
（3）直线与圆有两公共点即直线与圆相交，即圆心到直线的距离公式小于圆的半径，所以利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，让d小于圆的半径列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到满足题意的m的范围．

解答：解：由圆的方程（x-1）²+（y-1）²=4，得到圆心坐标为（1，1），圆的半径r=2，
（1）当直线平分圆时，即直线过圆的直径，把（1，1）代入y=x+m中，解得m=0；
（2）当直线与圆相切时，圆心（1，1）到直线y=x+m的距离d=

|-m|

2

=r=2，解得m=±2

2

；
（3）当直线与圆有两个公共点即直线与圆相交时，圆心（1，1）到直线的距离d=

|-m|

2

＜r=2，解得：-2

2

≤m≤2

2

．
所以，当m=0时，直线平分圆；当m=±2

2

时，直线与圆相切；当-2

2

≤m≤2

2

时，直线与圆有两个公共点．

点评：此题考查学生掌握直线与圆相切及相交时所满足的条件，是一道综合题．