Question

【题目】设椭圆的左、右交点分别为， ，点满足．

（）求椭圆的离心率．

（）设直线与椭圆相交于， 两点，若直线与圆相交于， 两点，且，求椭圆的方程．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】试题分析：（Ⅰ）直接利用|PF2|=|F1F2|，对应的方程整理后即可求椭圆的离心率e；（Ⅱ）先把直线PF2与椭圆方程联立求出A，B两点的坐标以及对应的|AB|两点，进而求出|MN|，再利用弦心距，弦长以及圆心到直线的距离之间的等量关系，即可求椭圆的方程

试题解析：(Ⅰ)设， ．

因为，则， ，

由，有，即， （舍去）或．

所以椭圆的离心率为．

(Ⅱ) 解．因为，所以， ．所以椭圆方程为．

直线的斜率，则直线的方程为．

两点的坐标满足方程组

消去并整理得．则， ．

于是 不妨设， ．

所以．

于是．

圆心到直线的距离，

因为，所以，即，

解得（舍去），或．于是， ．

所以椭圆的方程为．