Question

【题目】(1)若正整数n可以表示成)的形式，则称n为“好数”．试求与2的正整数次幂相邻的所有好数.(2) 试求不定方程的所有非负整数解

Answer 1

【答案】（1）9；（2）(1，0，0)，(1，1，0)，(2，1，0)，(3，2，0)，(4，l，1)，(2，0，1).

【解析】

(1)设所求的好数为n，

于是，存在正整数t (t>1)，使得显然，为奇数．

若b为奇数，则 ①

而是奇数个奇数相加减的结果仍然是奇数，只可能是l，代入

式①得b=l，这与b≥2矛盾．

若b为偶数，则

若，则

所以，t=1．矛盾

若，

但，

故

综上，所求的所有好数只有一个n=9.

(2)显然，≥1.当z=0时，若y≤1，易得方程的三组解(1，0，0)，(1，1，0)，(2，l，0)；

若y≥2，由(1)的结论易知此时方程只有一组解(3，2，0).

当z≥l时，显然，．

易知当且仅当(mod 4)时，；

当且仅当(mod 4)时，

若 ②

则，此时，

设对式②两边模4得

于是，y是奇数．设

则式②变为，

即

由，有

结合(1)的结论可知满足式③只有(1，0)一对，代人式④得z=1.

此时，原方程的一组解为(4，l，1)．

若， ⑤

则，此时，

设则 ⑥

当k=0时，y=0，z=1，原方程的一组解为(2，0，1).

当k≥1时，对式⑥两边模4得

于是，y是偶数．设

此时，再对式⑥两边模8得

于是，z为偶数．设

于是，式⑥变为

结合(1)的结论知 于是，，矛盾.

故(，y，z)=(1，0，0)，(1，1，0)，(2，1，0)，(3，2，0)，(4，l，1)，(2，0，1).