Question

【题目】已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线交椭圆于、两点，线段的中点为，直线是线段的垂直平分线，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）直线过定点，详见解析.

【解析】

(1)由焦点和离心率可得的值，则方程易求.

(2)设出直线的方程，与椭圆方程联立，结合线段的中点，利用根与系数的关系(或点差法)可求出直线的斜率，进而可表示出直线的方程，判断其所过定点.

（1）抛物线的焦点为，则.

椭圆的离心率，则.

故椭圆的标准方程为.

（2）方法一：显然点在椭圆内部，故，且直线的斜率不为.

当直线的斜率存在且不为时，易知，设直线的方程为，

代入椭圆方程并化简得.

设，，则，解得.

因为直线是线段的垂直平分线，故直线，即.

令，此时，于是直线过定点.

当直线的斜率不存在时，易知，此时直线，故直线过定点.

综上所述，直线过定点.

方法二：显然点在椭圆内部，故，且直线的斜率不为.

当直线的斜率存在且不为时，设，，

则有，，

两式相减得.

由线段的中点为，则，

故直线的斜率.

因为直线是线段的垂直平分线，故直线，即.

令，此时，于是直线过定点.

当直线的斜率不存在时，易知，此时直线，故直线过定点.

综上所述，直线过定点.