Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）对求导，得到导函数等于0时的两根，然后对两根的大小以及结合的正负进行分类讨论，得到导函数值的正负，然后得到原函数的单调区间

（2）对恒成立问题进行参变分离，得到，即求不等号右边函数的最小值，从而得到的取值范围.

（1）函数的定义域为，

1）当时，，所以函数在单调递减，在单调递增；

2）当时，，且方程有两根-1，；

①当时，，所以函数在单调递减、在，单调递增；

②当时，，所以函数在，单调递减、在单调递增.

综上，当时，函数在单调递减、在单调递增；

当时，函数在单调递减、在，单调递增；

当时，函数在，单调递减、在单调递增.

（2）函数恒成立，即，即，

设函数，则，令，解得，

所以函数在单调递减，在单调递增，所以函数的最小值

所以

所以的取值范围是