【题目】已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为32，48，
现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．
Ⅰ
应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
Ⅱ若抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．
用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的数学期望和方差；
设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．
【答案】（Ⅰ）甲、乙、丙三个部门分别抽取2、3、2人；（Ⅱ）
详见解析；
．
【解析】
Ⅰ
利用用分层抽样的性质能求出应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人．
Ⅱ
由题意得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列、数学期望和方差．
基本事件总数
，事件A包含的基本事件个数
，由此能求出事件A发生的概率．
解：Ⅰ某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为32，48，32．
现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．
应从甲部门的员工中抽取：
人，
乙部门的员工中抽取：
人，
丙部门的员工中抽取：人．
Ⅱ由题意得X的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
随机变量X的分布列为：
X | 0 | 1 | 2 | 3 |
P |
|
|
|
|
，
．
抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，
现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．
基本事件总数，
A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，
则事件A包含的基本事件个数，
事件A发生的概率
．
阅读快车系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：
质量指标值分组 | [75，85) | [85，95) | [95，105) | [105，115) | [115，125) |
频数 | 6 | 26 | 38 | 22 | 8 |
（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：
（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，已知点
在圆柱
的底面圆
上，
为圆的直径．
（1）若圆柱的体积
为
，
，
，求异面直线
与
所成的角（用反三角函数值表示结果）；
（2）若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，四面体
的外接球为球
，求
两点在球上的球面距离．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为
(t为参数).
(1)写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;
(2)设曲线C经过伸缩变换
得到曲线,设M(x,y)为
上任意一点,求
的最小值,并求相应的点M的坐标.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知椭圆C：
的两个焦点分别为
，
，点P是椭圆上的任意一点，且
的最大值为4，椭圆C的离心率与双曲线
的离心率互为倒数．
Ⅰ
求椭圆C的方程；
Ⅱ设点
，过点P作两条直线
，
与圆
相切且分别交椭圆于M，N，求证：直线MN的斜率为定值．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在四棱锥
中，
，
．
为
的中点．
（1）若点
为
的中点，求证：
平面
；
（2）当平面
平面
时，线段上是否存在一点，使得平面
与平面所成锐二面角的大小为
？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由．
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