Question

【题目】已知 （x≥0）成等差数列．又数列{an}（an＞0）中，a1＝3 ，此数列的前n项的和Sn（n∈N*）对所有大于1的正整数n都有Sn＝f（Sn－1）．

（1）求数列{an}的第n＋1项；

（2）若是，的等比中项，且Tn为{bn}的前n项和，求Tn.

Answer 1

【答案】（1） an＋1＝6n＋3（2）

【解析】

试题分析：（1）有（x≥0）成等差数列，利用等差数列定义得到f（x）的函数解析式，再利用Sn=f（Sn-1）得到数列an的关于前n项和式子，在有前n项和求出数列的第n+1项；（2）由于是，的等比中项，所以可以利用等比中项的定义得到数列bn的通项公式，在利用裂项相消法可以求{bn}的前n项和Tn

试题解析：因为，， （x≥0）成等差数列，所以×2＝＋.

所以f（x）＝（＋）2.

因为Sn＝f（Sn－1）（n≥2），

所以Sn＝f（Sn－1）＝（＋）2.

所以＝＋，－＝.

所以{}是以为公差的等差数列．

因为a1＝3，所以S1＝a1＝3.

所以＝＋（n－1） ＝＋－＝n.

所以Sn＝3n2（n∈N*）．所以an＋1＝Sn＋1－Sn＝3（n＋1）2－3n2＝6n＋3.

（2）因为数列是，的等比中项，

所以（）2＝·，

所以bn＝＝＝.

所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝