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    【题目】设为奇函数，为常数．

    （1）求证：是上的增函数；

    （2）若对于区间上的每一个值，不等式恒成立，求实数取值范围．

    【答案】（1）证明见解析；（2）

    【解析】

    （1）由奇函数的定义域关于原点对称可得，，即，则令，得到的根必为相反数，从而求出a，再根据定义法证明是上的增函数即可；

    （2）由题意知，时恒成立，令，根据单调性的运算可判断的单调性，从而求出最值.

    （1）∵是奇函数，∴定义域关于原点对称，

    由，得．令，得，，

    ∴，解得，，令，

    设任意，且，则，

    ∵，∴，，，∴，即．

    ∴是减函数，又为减函数，

    ∴在上为增函数；

    （2）由题意知，时恒成立，

    令，，

    由（2）知在上为增函数，又在上也是增函数，

    故在上为增函数，∴的最小值为，

    ∴，故实数的范围是．

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