Question

【题目】为研究女高中生身高与体重之间的关系，一调查机构从某中学中随机选取8名女高中生，其身高和体重数据如下表所示：

编号	1	2	3	4	5	6	7	8
身高	164	160	158	172	162	164	174	166
体重	60	46	43	48	48	50	61	52

该调查机构绘制出该组数据的散点图后分析发现，女高中生的身高与体重之间有较强的线性相关关系.

（1）调查员甲计算得出该组数据的线性回归方程为，请你据此预报一名身高为的女高中生的体重；

（2）调查员乙仔细观察散点图发现，这8名同学中，编号为1和4的两名同学对应的点与其他同学对应的点偏差太大，于是提出这样的数据应剔除，请你按照这名调查人员的想法重新计算线性回归话中，并据此预报一名身高为的女高中生的体重；

（3）请你分析一下，甲和乙谁的模型得到的预测值更可靠？说明理由.

附：对于一组数据，其回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：.

Answer 1

【答案】（1）一名身高为的女大学生的体重约为（2）回归方程为，一名身高为的女大学生的体重约为（3）乙的模型得到的预测值更可靠，详见解析

【解析】

（1）计算平均数，求出，即可求出回归方程；把178代入即可求出的女大学生的体重；

（2）根据余下的数据计算平均数，求出，，即可求出回归方程；代入公式，即可求出身高为的女大学生的体重；

（3）从散点图以及计算数据两个方面来分析甲和乙谁的方程可靠．

解：（1）经计算：，

于是：，

则该组数据的线性回归方程为，

当时，，

于是：一名身高为的女大学生的体重约为；

（2）按照调查人员乙的想法，剩下的数据如下表所示：

编号	2	3	5	6	7	8
身高	160	158	162	164	174	166
体重	46	43	48	50	61	52

经计算：，

于是：

，

则该组数据的线性回归方程为，

当时，，

于是：一名身高为的女大学生的体重约为；

（3）乙的模型得到的预测值更可靠，

理由如下：①从散点图可以看出，第一组数据和第四组数据确实偏差较大，为更准确的刻画变化趋势，有必要把这两个数据剔除掉；

②从计算结果来看，相对于第七组数据的女大学生体重，甲对身高的女大学生的预测值明显偏低，而利用乙的回归方程得到的预测值增幅较合理.

（以上给出了两种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分）