Question

【题目】已知，，是关于的方程的两个不等的实根，且，函数的定义域为，记，分别为函数的最大值和最小值.

（1）试判断在上的单调性；

（2）设，若函数是奇函数，求实数的值.

Answer 1

【答案】（1）函数在上单调递增；（2）.

【解析】

（1）利用函数单调性的定义或利用导数判断在上的单调性；

（2）由（1）可知函数在上单调递增，则，，求出.由是奇函数，可得，即求.

（1）解法一：对于，，设

则，

，

因为，，所以，，

所以，

因为，所以，

即，又，

所以，即，

所以函数在上单调递增.

解法二：设，，

因为，是关于的方程的两个不等的实根，

所以，

所以，等号当且仅当或时成立，

所以函数在上单调递增.

（2）由（1）可知函数在上是单调递增的，

所以，，

所以，

因为，为方程的两个实根，

所以，，

所以，

所以，

所以，

因为是奇函数，所以对任意都成立，

即恒成立，

，所以，

即，

所以，即.