Question

【题目】定义：对于任意，满足条件且是与无关的常数的无穷数列称为数列．

（1）若，证明：数列是数列；

（2）设数列的通项为，且数列是数列，求常数的取值范围；

（3）设数列，问数列是否是数列？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）当时数列是T数列；当时数列不是T数列，见解析

【解析】

（1）根据，求出，根据题中条件，即可判断出结果；

（2）先作差得到，判断其单调性，即可得出结果；

（3）分，，三种情况，根据数列需要满足的条件，分别求解，即可得出结果.

（1）由，得

，

所以数列满足，又，当或时，取得最大值，即．

综上，数列是数列

（2）因为，

所以当即时，，此时数列单调递增.

当时，，此时数列单调递减；故数列的最大项是，

所以，的取值范围是

（3）①当时，当时，

由得，

即当时符合条件若，则，此时

于是

又对于有，所以当时数列是数列；

②当时，取则：，

由，所以时数列不是数列

③当时，

取则，

由，所以时数列不是数列

综上：当时数列是数列；当时数列不是数列