Question

【题目】如图，四棱锥中，平面平面，若，四边形是平行四边形，且.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若点在线段上，且平面，，，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）推导出BC⊥CE,从而EC⊥平面ABCD,进而EC⊥BD，再由BD⊥AE，得BD⊥平面

AEC,从而BD⊥AC,进而四边形ABCD是菱形，由此能证明AB=AD.

（Ⅱ）设AC与BD的交点为G,推导出EC// FG,取BC的中点为O,连结OD,则OD⊥BC,以O为坐标原点，以过点O且与CE平行的直线为x轴，以BC为y轴，OD为z轴，建立

空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BF-D的余弦值.

（Ⅰ）证明：，即，

因为平面平面，

所以平面，

所以，

因为，

所以平面，

所以，

因为四边形是平行四边形，

所以四边形是菱形，

故；

解法一：（Ⅱ）设与的交点为，

因为平面，

平面平面于，

所以，

因为是中点，

所以是的中点，

因为，

取的中点为，连接，

则，

因为平面平面，

所以面，

以为坐标原点，以过点且与平行的直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系.不妨设，则，，，，，，，

设平面的法向量，

则，取，

同理可得平面的法向量，

设平面与平面的夹角为，

因为，

所以二面角的余弦值为.

解法二：（Ⅱ）设与的交点为，

因为平面，平面平面于，

所以，

因为是中点，

所以是的中点，

因为，，

所以平面，

所以，

取中点，连接、，

因为，

所以，

故平面，

所以，即是二面角的平面角，

不妨设，

因为，，

在中，，

所以，所以二面角的余弦值为.