Question

【题目】过椭圆右焦点的直线交椭圆与A，B两点，为其左焦点，已知的周长为8，椭圆的离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆任意一条切线与椭圆恒有两个交点，？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

（1）由椭圆的定义可知，的周长为，可求，再由离心率可求，即可求出椭圆的方程；

（2）假设存在满足条件的圆.当直线的斜率存在时，设其方程为，代入椭圆的方程，根据韦达定理，再结合圆心到直线的距离等于半径，求出圆的半径，写出圆的方程，最后验证直线的斜率不存在时也成立.

（1）由椭圆的定义可知，的周长为，

由题意，又，

，

所以椭圆的方程为.

（2）假设存在满足条件的圆，设圆的方程为.

当直线的斜率存在时，设其方程为.

由，得，

，

.

，

即，

即，整理得.

直线与圆相切，，

存在圆满足条件.

当直线的斜率不存在时，圆也满足条件.

综上，存在圆满足条件.