Question

【题目】如图，正方体的棱长为1，为的中点，在侧面上，有下列四个命题：

①若，则面积的最小值为；

②平面内存在与平行的直线；

③过作平面，使得棱，，在平面的正投影的长度相等，则这样的平面有4个；

④过作面与面平行，则正方体在面的正投影面积为．

则上述四个命题中，真命题的个数为（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】

①建立空间坐标系，得到点应该满足的条件，再根据二次函数的最值的求法求解即可；对于②，平面，所以也与平面相交．故②错；对于③过作平面，使得棱，，在平面的正投影的长度相等，因为，且，所以在平面的正投影长度与在平面的正投影长度相等，然后分情况讨论即可得到平面的个数；对于④面与面平行，则正方体在面的正投影为正六边形，且正六边形的边长为正三角形外接圆的半径，故其面积为．

解：对于①，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图1所示；

过作平面，是垂足，过作，交于，连结，

则，，，，，，，

设，则，，

∵，

∴，解得，

∴，，

，

∴，

当时，，①正确；

对于，平面，所以也与平面相交．故②错；

③过作平面，使得棱，，在平面的正投影的长度相等，因为，且，故在平面的正投影的长度等于在平面的正投影的长度，使得棱，，在平面的正投影的长度相等，即使得使得棱，，面的正投影的长度相等，若棱，，面的同侧，则为过且与平面平行的平面，若棱，，中有一条棱和另外两条棱分别在平面的异侧，则这样的平面有3个，故满足使得棱，，在平面的正投影的长度相等的平面有4个；③正确．

④过作面与面平行，则正方体在面的正投影为一个正六边形，其中平面，而分别垂直于正三角形和，所以根据对称性，正方体的8个顶点中，在平面内的投影点重合与正六边形的中心，其它六个顶点投影恰是正六边形的六个顶点，且正六边形的边长等于正三角形的外接圆半径（投影线与正三角形、垂直），所以正六边形的边长为，所以投影的面积为．④对．

故选：C．