Question

【题目】定义在R上的奇函数，当时,

则函数的所有零点之和为_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

函数F（x）＝f（x）﹣a（0＜a＜1）的零点转化为：在同一坐标系内y＝f（x），y＝a的图象交点的横坐标；作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，根据奇函数f（x）在x≥0时的解析式，作出函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案．

∵当x≥0时，

f（x）＝

即x∈[0，1）时，f（x）＝（x+1）∈（﹣1，0]；

x∈[1，3]时，f（x）＝x﹣2∈[﹣1，1]；

x∈（3，+∞）时，f（x）＝4﹣x∈（﹣∞，﹣1）；

画出x≥0时f（x）的图象，

再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示；

则直线y＝a，与y＝f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）﹣a＝0共有五个实根，

最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为6，

∵x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），

∴f（﹣x）＝（﹣x+1），

又f（﹣x）＝﹣f（x），

∴f（x）＝﹣（﹣x+1）＝（1﹣x）﹣1＝log2（1﹣x），

∴中间的一个根满足log2（1﹣x）＝a，即1﹣x＝2a，

解得x＝1﹣2a，

∴所有根的和为1﹣2a．

故答案为：1﹣2a．