Question

【题目】对于实数，将满足“且为整数”的实数称为实数的小数部分，用记号表示．对于实数，无穷数列满足如下条件：，其中．

（1）若，求数列；

（2）当时，对任意的，都有，求符合要求的实数构成的集合；

（3）若是有理数，设（是整数，是正整数，互质），问对于大于的任意正整数，是否都有成立，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）成立，证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）利用新定义，可求数列的通项公式；（2）分类讨论，利用，即可求符合要求的实数构成的集合；（3）由是有理数，可知对一切正整数，为或正有理数，可设（是非负整数，是正整数，且，互质），利用反证法可得结论．

试题解析：（1），，

若，则，

所以.

（2），所以，所以，

①当，即时，，所以，

解得（，舍去）.

②当，即时，，所以，

解（，舍去）.

③当，即时，，所以，

解得（舍去）.

综上.

（2）成立.由是有理数，可知对一切正整数，为0或正有理数，

可设（是非负整数，是正整数，且既约）.

①由，可得；

②若，设（，，是非负整数），

则，而由得，

，故，,可得.

若则，

若均不为0，则这正整数互不相同且都小于，

但小于的正整数共有个，矛盾.

故中至少有一个为0，即存在，使得.

从而数列中以及它之后的项均为0，所以对不大于的自然数，都有.