Question

【题目】已知椭圆的离心率为，且以椭圆上的点和长轴两端点为顶点的三角形的面积的最大值为.

（1）求椭圆的方程；

（2）经过定点的直线交椭圆于不同的两点、，点关于轴的对称点为，试证明：直线与轴的交点为一个定点，且（为原点）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析．

【解析】

（1）根据题意得出关于、、的方程组，解出、的值，进而可求得椭圆的方程；

（2）设直线的方程为，设点、，可得点，设点，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由、、三点共线可得出

（1）由题意得，解得，．

所以椭圆的方程为；

（2）由题意知直线的斜率一定存在，设为，

设、，则，设，

联立消去得：，

由得，即时，，一定存在，

，.

当斜率不为时：因为、、三点共线，，

，即，

即

化简，

代入韦达定理化简得，即，，

，且，

当斜率时，直线与轴重合，满足结论．

综上，直线与轴的交点为一个定点，且