Question

【题目】如图，在四棱锥中，、、两两垂直，，，，为线段上一点（端点除外）.

（1）若异面直线、所成角的余弦值为，求的长；

（2）求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）以、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，，利用空间向量法结合异面直线、所成角的余弦值为可得出关于的方程，解出的值，即可求得的长；

（2）求出平面和平面的法向量，利用空间向量法可求得二面角的平面角的余弦值.

（1）因为、、两两垂直，所以以、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则由，，

得，，，，.

设，其中，

所以，

因为直线、所成角的余弦值为，

所以，

解得，所以，故的长为；

（2）由（1）知，，，.

设平面的一个法向量为.由，得.

取，则，所以平面的一个法向量为.

设平面的一个法向量为，由，得，

取，则，，所以平面的一个法向量为.

因为，

由图形可知，二面角的平面角为钝角，其余弦值为.