Question

【题目】在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数），设原点在圆的内部，直线与圆交于、两点；以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求直线和圆的极坐标方程，并求的取值范围；

（2）求证：为定值.

Answer 1

【答案】（1）；；的取值范围是（2）证明见解析；

【解析】

（1）消参可得直线的直角坐标方程，利用直角坐标与极坐标的互化可得直线和圆的极坐标方程，根据原点在圆的内部可得，解不等式即可.

（2）将直线的极坐标方程代入圆的极坐标方程可得，由，利用韦达定理即可求解.

解（1）将直线的参数方程化为直角坐标方程，得，

所以直线的极坐标方程为；

将圆的参数方程化为直角坐标方程，得，

所以圆的极坐标方程为.

由原点在圆的内部，得，解得，

故的取值范围是.

（2）将代入，

得.

则，，

所以

，

故为定值.