Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，以为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（），为上一点，以为边作等边三角形，且、、三点按逆时针方向排列.

（Ⅰ）当点在上运动时，求点运动轨迹的直角坐标方程；

（Ⅱ）若曲线： ，经过伸缩变换得到曲线，试判断点的轨迹与曲线是否有交点，如果有，请求出交点的直角坐标，没有则说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）．

【解析】试题分析：考虑到 则点的极坐标可以表示为将点代入直线的极坐标方程中得到关于的方程即为点的极坐标方程，再转化为点的直角坐标方程.（2）将曲线的普通方程与直线普通方程联立 故必有两个交点.

试题解析：（Ⅰ）设点的坐标为，

则由题意可得点的坐标为，

再由点的横坐标等于， ，

可得，

可得，

故当点在上运动时点的直角坐标方程为．

（Ⅱ)曲线： ，

，即，代入，即，

联立点的轨迹方程，消去得，

有交点，坐标分别为．