Question

【题目】已知元集合的一些子集满足：每个子集至少含2个元素，每两个不同子集的交集至多含2个元素，记这些子集的元素个数的立方和为.问：是否存在不小于3的正整数，使的最大值等于2009的方幂？说明你的理由．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

设取最大值时，对应有个子集．则．

若存在某个，使，不妨设为，将的所有三元子集记为，则．

对任意的，有.

对任意的，有．

由已知，对任意的，，有

．

故可用替换原先的，形成新的子集族．

因

，

所以，替换后所有集合元素个数的立方和增加，这与的最大性矛盾．

于是，当取最大值时，每个子集元素的个数都不大于3．

又取一切的二元子集和三元子集形成的子集族满足题意，于是，它们的元素个数的立方和为

.

假设．则

． ①

若是偶数，则是偶数．从而，式①左边是4的倍数，矛盾．

所以，是奇数．

记，则

是10的约数．

结合式①知．

又因，，所以，当时，式①左边的三个因数的质因子互不相同，故只可能．此时，，而式①右边不含质因子3，矛盾．

综上，不存在不小于3的正整数，使的最大值等于2009的方幂．