Question

已知函数，为自然对数的底数）.
(Ⅰ)当时,求的单调区间；
(Ⅱ)若函数在上无零点,求最小值；
(Ⅲ)若对任意给定的,在上总存在两个不同的),使成立,求的取值范围.

Answer 1

(Ⅰ) 的单调递减区间为，单调递增区间为；(Ⅱ) ；(Ⅲ) .

解析试题分析：(Ⅰ)将代入，对求导，令和分别求出函数的单调递增区间和单调递减区间；(Ⅱ)通过分析已知先得到“对，恒成立”，下面求在上的最大值，所以，解出的最小值；(Ⅲ)先对求导，判断出上的单调性，并求出的值域，再对求导，确定单调性，画出简图，因为，得到，通过验证（2）是恒成立的，所以只需满足（3）即可，所以解出的取值范围.
试题解析：(Ⅰ)当时, ()，则.   1分
由得；由得.               3分
故的单调递减区间为，单调递增区间为.       4分
(Ⅱ)因为在区间上恒成立是不可能的,       5分
故要使函数在上无零点,只要对任意,恒成立.
即对，恒成立.       6分
令，，则，
再令，，则.
故在为减函数，于是，
从而，于是在上为增函数，
所以，            8分
故要使恒成立，只要.
综上可知，若函数在上无零点，则的最小值为.   9分
(Ⅲ)，所以在上递增，在上递减.
又，，
所以函数在上的值域为.      &