Question

【题目】已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为2的菱形，且∠BAD= ，AA1⊥平面ABCD，AA1=1，设E为CD中点

（1）求证：D1E⊥平面BEC1
（2）点F在线段A1B1上，且AF∥平面BEC1 ， 求平面ADF和平面BEC1所成锐角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由已知该四棱柱为直四棱柱，且△BCD为等边三角，BE⊥CD

所以BE⊥平面CDD1C1，而D1E平面CDD1C1，故BE⊥D1E

因为△C1D1E的三边长分别为 ，故△C1D1E为等腰直角三角形

所以D1E⊥C1E，结合D1E⊥BE知：D1E⊥平面BEC1

（2）解：取AB中点G，则由△ABD为等边三角形

知DG⊥AB，从而DG⊥DC

以DC，DG，DD1为坐标轴，建立如图所示的坐标系

此时 ， ，设

由上面的讨论知平面BEC1的法向量为

由于AF平面BEC1，故AF∥平面BEC1

故（λ+1，0，1）（1，0，﹣1）=（λ+1）﹣1=0λ=0，故

设平面ADF的法向量为 ，

由 知 ，取 ，故

设平面ADF和平面BEC1所成锐角为θ，则

即平面ADF和平面BEC1所成锐角的余弦值为 ．

【解析】（1）推导出BE⊥D1E，D1E⊥C1E，由此能证明D1E⊥平面BEC1 ． （2）取AB中点G，则由△ABD为等边三角形知DG⊥AB，从而DG⊥DC，以DC，DG，DD1为坐标轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ADF和平面BEC1所成锐角的余弦值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的判定的相关知识，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．