Question

已知函数图象在x=1处的切线方程为2y﹣1=0．

（1） 求函数f（x）的极值；
（2）若△ABC的三个顶点（B在A、C之间）在曲线y=f（x）+ln（x﹣1）（x＞1）上，试探究与的大小关系，并说明理由．

Answer 1

解：（1）求导得：f'（x）=，
由题意得：f'（1）=0，f（1）=，
=0，=，
解得a=1，b=0，
由f'（x）=﹣＞0，解得：x＜﹣1或x＞1；
由f'（x）=﹣＜0，解得：﹣1＜x＜1，
f（x）在（﹣，﹣1）或（1，+）上是减函数，在（﹣1，1）上是增函数，
则f（x）的极小值为f（﹣1）=﹣，f（x）的极大值为f（1）=；
（2） 设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃），
且x₁＜x₂＜x₃，y=f（x）+ln（x﹣1）=+ln（x﹣1）（x＞1），
y'=＞0，
函数在（1，+）上单调递增，
由x₁＜x₂＜x₃得：y₁＜y₂＜y₃，
·=（x₁﹣x₂）（x₃﹣x₂）+（y₁﹣y₂）（y₃﹣y₂）＜0，
B是钝角，由余弦定理得cosB=＜0，即a²+c²＜b²，
由正弦定理得：sin²A+sin²C＜sin²B，则＞＞1，
又f（x）是（1，+）上的增函数，
＞．