Question

7．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x-$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的对称轴方程；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后再向左平移$\frac{π}{3}$个单位，得到函数g（x）的图象．若a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，c=4，且g（B）=0，求b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得函数f（x）的对称轴方程．
（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用余弦定理求得b的值．

解答 解：（Ⅰ）函数$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx-{cos^2}x-\frac{1}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}（1+cos2x）-\frac{1}{2}=sin（2x-\frac{π}{6}）-1$，
令$2x-\frac{π}{6}=kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，解得$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{3}，k∈Z$，
所以函数f（x）的对称轴方程为$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{3}，k∈Z$．
（Ⅱ）函数f（x）的图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数$y=sin（x-\frac{π}{6}）-1$的图象，
再向左平移$\frac{π}{3}$个单位，得到函数$y=sin（x+\frac{π}{3}-\frac{π}{6}）-1$的图象，所以函数$g（x）=sin（x+\frac{π}{6}）-1$．
又△ABC中，g（B）=0，所以$sin（B+\frac{π}{6}）-1=0$，又$\frac{π}{6}＜B+\frac{π}{6}＜\frac{7π}{6}$，
所以$B+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，则$B=\frac{π}{3}$．由余弦定理可知，${b^2}={a^2}+{c^2}-2accosB={2^2}+{4^2}-2×2×4cos\frac{π}{3}=12$，
所以$b=2\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象的对称性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦定理，属于中档题．