Question

【题目】将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BC﹣C，有如下四个结论：
①AC⊥BD；②△ABC是等边三角形；
③AB与CD所成的角90°；④二面角A﹣BC﹣D的平面角正切值是；
其中正确结论是 ．（写出所有正确结论的序号）

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：取BD中点E，连结AE，CE，则AE⊥BD，CE⊥BD，∴BD⊥平面ACE，∴AC⊥BD．故①正确．
设折叠前正方形的边长为1，则BD= ， ∴AE=CE= ．
∵平面ABD⊥平面BCD，∴AE⊥平面BCD，∴AE⊥CE，∴AC==1．
∴△ABC是等边三角形，故②正确．
取BC中点F，AC中点G，连结EF，FG，EG，则EF∥CD，FG∥AB，
∴∠EFG为异面直线AB，CD所成的角，在△EFG中，EF=CD= ， FG=AB= ， EG=AC= ，
∴△EFG是等边三角形，∴∠EFG=60°，故③错误．
∵AF⊥BC，BC⊥CD，EF∥CD，∴∠AFE为二面角A﹣BC﹣D的平面角．
∵AE⊥EF，∴tan∠AFE=．故④正确．
所以答案是：①②④．

【考点精析】通过灵活运用平面与平面垂直的性质，掌握两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直即可以解答此题．