Question

已知函数f（x）=|x-a|-|x-5|，a＞0．
（I）若a=2，求f（x）≥0的解集．
（II）若不等式f（x）≤2x的解集为[5，+∞），求a的值．

Answer 1

分析：（I）当a=2时，ff（x）≥0可化为|x-2|≥|x-5|，直接求出不等式|x-2|≥|x-5|的解集即可．
（II）由题设知：|x-a|-|x-5|≤2x．下面就a的取值分类讨论，在同一坐标系中作出函数y=f（x）和y=2x的图象，结合图象即可求得 a 的值．

解答：解：（ I） a=2时，f（x）=|x-2|-|x-5|，f（x）≥0，
即|x-2|≥|x-5|，x≥

7

2

，所以f（x）≥0的解集[

7

2

，+∞）．
（ II） f（x）≤2x即|x-a|-|x-5|≤2x ①
（1）a=5时，解①得x≥0，不合题意．
（2）a＞5时，f（x）=

5-a，x≥a a+5-2x，5＜x＜a a-5，x≤5

函数图象如图，
∵f（x）≤2x的解集为[5，+∞），
∴直线y=2x过（5，a-5），
∴a-5=10，a=15．
（3）0＜a＜5时，f（x）=

5-a，x≥5 2x-a-5，a＜x＜5 a-5，x≤a

函数图象如下图，不合题意．

综上，a=15．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，函数图象的特征，体现了数形结合的数学思想，画出函数f（x）的图象，是解题的关键．