Question

【题目】如图所示，在四棱锥中，底面四边形为正方形，已知平面，，.

（1）证明：；

（2）求与平面所成角的正弦值；

（3）在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，求的值并证明，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，，理由见解析

【解析】

（1）如图，连接交于点，证明平面得到答案.

（2）如图建立空间直角坐标系，计算平面的法向量为，再利用向量夹角公式计算得到答案.

（3）存在，设，则，则平面的法向量为

，利用向量垂直计算得到答案.

（1）如图，连接交于点，由于平面，平面

所以，即

由于，，，所以平面

又因为平面，因此

（2）由于平面，平面，平面，

所以，又，所以，，两两垂直，

因比，如图建立空间直角坐标系

，，，

因此，，

设平面的法向量为，则即

取，，，则

设直线与平面所成角为，

（3）存在，设，则

则，

设平面的法向量为，则，

即，即，，

则，若平面平面，则

即，则

因此在棱上存在点，使得平面平面，