Question

【题目】如图，在多面体中，正三角形所在平面与菱形所在的平面垂直， 平面，且.

（1）判断直线平面的位置关系，并说明理由；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）过点作于点，连接，通过计算可得，可进一步得，可得线面平行；（2）以为坐标原点， 所在直线分别为轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系.利用二面角的法向量与半平面的法向量的关系求得二面角的余弦值．

试题解析：（1）直线与平面平行，理由如下：

如图，过点作于点，连接，因为在正三角形中， ，所以，

因为平面平面平面，平面平面.

（2）如图，连接，由（1）可得为的中点，又，故为等边三角形，

所以.

又平面，故两两垂直，以为坐标原点， 所在直线分别为轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系.

则,

所以，

设平面的法向量为，则，即，

取，则是平面的一个法向量，

设平面的法向量为，

则，即，

取，得是平面的一个法向量.

所以，

由图可知二面角为钝角，故二面角的余弦值是.