Question

设函数f(x)=lnx-

1

2

ax2-6x
（Ⅰ）当a=b=

1

2

时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）令F(x)=f(x)+

1

2

ax2+bx+

a

x

(0＜x≤3），其图象上任意一点P（x₀，y₀）处切线的斜率k≤

1

2

恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当a=0，b=-1时，方程f（x）=mx在区间[1，e²]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先求导数fˊ（x）然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间为单调增区间，fˊ（x）＜0的区间为单调减区间．
（II）先构造函数F（x）再由以其图象上任意一点P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率k≤

1

2

恒成立，知导函数≤

1

2

恒成立，再转化为所以a≥（-

1

2

，x₀²+x₀）max求解．
（III）先把程f（x）=mx有唯一实数解，转化为m=1+

lnx

x

有唯一实数解，再利用单调函数求解．

解答：解：（Ⅰ）依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞）．（1分）
当a=b=

1

2

时，f（x）=lnx-

1

4

x²-

1

2

x，
f′（x）=

1

x

-

1

2

x-

1

2

=

-(x+2)(x-1)

2x

．（2分）
令f′（x）=0，解得x=1．
当0＜x＜1时，f′（x）＞，此时f（x）单调递增；
当x＞1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减．（3分）
所以函数f（x）的单调增区间（0，1），函数f（x）的单调减区间（1，+∞）．（4分）
（Ⅱ）F（x）=lnx+

a

x

，x∈（0，3]，
所以k=F′（x0）=

x0-a

x 2 0

≤

1

2

，在x₀∈（0，3]上恒成立，（6分）
所以a≥（-

1

2

，x₀²+x₀）max，x₀∈（0，3]（7分）
当x₀=1时，-

1

2

x₀²+x₀取得最大值

1

2

．所以a≥

1

2

．（9分）
（Ⅲ）当a=0，b=-1时，f（x）=lnx+x，
因为方程f（x）=mx在区间[1，e²]内有唯一实数解，
所以lnx+x=mx有唯一实数解．
∴m=1+

lnx

x

，
设g（x）=1+

lnx

x

，则g′（x）=

1-lnx

x2

．
令g′（x）＞0，得0＜x＜e；
g′（x）＜0，得x＞e，
∴g（x）在区间[1，e]上是增函数，在区间[e，e²]上是减函数，
g（1）=1，g（e²）=1+

lne2

e2

=1+

2

e2

，g（e）=1+

1

e

，
所以m=1+

1

e

，或1≤m＜1+

2

e2

．

点评：本题主要考查函数的单调性、极值、不等式、方程的解等基本知识，同时考查运用导数研究函数性质的方法，分类与整合及化归与转化等数学思想．