Question

已知方程

|cosx|

x

=k在（0，+∞）上有两个不同的解α、β（α＜β），则下列的四个命题正确的是（　　）

• A、sin2α=2αcos²α
• B、cos2α=2αsin²α
• C、sin2β=-2βsin²β
• D、cos2β=-2βsina²β

Answer 1

考点：余弦函数的图象

专题：导数的综合应用

分析：将方程

|cosx|

x

=k转化为|cosx|=kx，作出两个函数的图象，利用数形结合，以及导数的几何意义即可得到结论．

解答：解：∵

|cosx|

x

=k，∴|cosx|=kx，
∴要使方程

|cosx|

x

=k（k＞0）在（0，+∞）上有两个不同的解，则y=|cosx|的图象与直线y=kx（k＞0）在（0，+∞）上
有且仅有两个公共点，
所以直线y=kx与y=|cosx|在（

π

2

，π）内相切，且切于点（β，-cosβ），此时y=|cosx|=-cosx．
∴切线的斜率为sinβ=

-cosβ

β

，∴βsinβ=-cosβ，
∴2βsinβsinβ=2sinβcosβ，
∴sin 2β=-2βsin²β，
故选：C．

点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，导数的几何意义，体现了转化的数学思想．