Question

【题目】如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示．

（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；

（Ⅱ）求几何体D﹣ABC的体积．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】解：（Ⅰ）

【解法一】：在图1中，由题意知，，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC

取AC中点O，连接DO，则DO⊥AC，又平面ADC⊥平面ABC，

且平面ADC∩平面ABC=AC，DO平面ACD，从而OD⊥平面ABC，

∴OD⊥BC

又AC⊥BC，AC∩OD=O，

∴BC⊥平面ACD

【解法二】：在图1中，由题意，得，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC

∵平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC=AC，BC面ABC，∴BC⊥平面ACD

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC为三棱锥B﹣ACD的高，且，S△ACD=×2×2=2，

所以三棱锥B﹣ACD的体积为：，

由等积性知几何体D﹣ABC的体积为：．