Question

如图，在斜三棱柱中，侧面⊥底面，侧棱与底面成的角，．底面是边长为2的正三角形，其重心为点，是线段上一点，且．

（Ⅰ）求证：//侧面；
（Ⅱ）求平面与底面所成锐二面角的正切值．

Answer 1

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

解析试题分析：（Ⅰ）延长B₁E交BC于点F，易证点F为BC的中点，G为△ABC的重心，则A、G、F三点共线，由线段成比例可证GE与AB₁平行，从而得GE//侧面AA₁B₁B；（Ⅱ）由侧面AA₁B₁B⊥底面ABC，过B₁作B₁H⊥AB，垂足为H，过H作HT⊥AF，垂足为T，连B₁T，易证∠B₁TH为所求二面角的平面角，在Rt△B₁HT中，求其正切值.注意作二面角的平面角时的证明，要求有“一作二证三求”.取AB的中点O，则AO⊥底面ABC ，以O为原点建立空间直角坐标系O—xyz，此题也可用向量法完成.
试题解析：解法1：（Ⅰ）延长B₁E交BC于点F，∽△FEB，BE=EC₁，∴BF=B₁C₁=BC，
从而点F为BC的中点．
∵G为△ABC的重心，∴A、G、F三点共线．且，
又GE侧面AA₁B₁B，∴GE//侧面AA₁B₁B．
（Ⅱ）在侧面AA₁B₁B内，过B₁作B₁H⊥AB，垂足为H，∵侧面AA₁B₁B⊥底面ABC，
∴B₁H⊥底面ABC．又侧棱AA₁与底面ABC成60°的角，AA₁=2，∴∠B₁BH=60°，BH=1，B₁H= 
在底面ABC内，过H作HT⊥AF，垂足为T，连B₁T，由三垂线定理有B₁T⊥AF，
又平面B₁CE与底面ABC的交线为AF，∴∠B₁TH为所求二面角的平面角．
∴AH=AB+BH=3，∠HAT=30°，∴HT=AH．在Rt△B₁HT中，，
从而平面B₁GE与底面ABC成锐二面角的正切值为．
解法2：（Ⅰ）∵侧面AA₁B₁B⊥底面ABC，侧棱AA₁与底面ABC成60°的角，∴∠A₁AB=60°，   
又AA₁=AB=2，取AB的中点O，则AO⊥底面ABC．
以O为原点建立空间直角坐标系O—如图，

则，，，，，．
∵G为△ABC的重心，∴．，∴，
∴．     又GE侧面AA₁B₁B，∴GE//侧面AA₁B₁B．
（Ⅱ）设平面B₁GE的法向量为，则由得
可取 又底面ABC的一个法向量为 
设平面B₁GE与底面ABC所成锐二面角的大小为，则．
由于为锐角，所以，进而．
故平面B₁GE与底面ABC成锐二面角的正切值为．
考点：1.直线与平面平行的判定；2.二面角的平面角；3.空间向量在立体几何中的应用