Question

【题目】已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx（a∈R）．

（1）若x=是函数f（x）的一个极值点，求实数a的值；

（2）当a＞0时，讨论函数f（x）的单调性；

（3）当a＞2且x＞1时，求证：函数f（x）的最小值小于﹣3．

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.

【解析】

（1）利用极值点的导数值为0可得；

（2）求导后，对导函数的两个零点的大小进行讨论；

（3）由（2）知f（x）的最小值为g（a）a+aln，（a＞2），再通过两次求导可以证明．

（1）函数的导数为：

∴，

依题意有，即，解得：；

（2）∵，

∴当，即时，由，得或；由，得，

故在，上单调递增，在单调递减.

当，即时，在上恒成立，故在上单调递增，

当，即时，由，得或；由，得，

故在，上递增，在上递减.

（3）当，且时，由（2）知函数在上递减，在上递增，

所以时， ，

令，

则，

则在上恒成立，

所以在上是减函数，所以，

所以在上是减函数，所以，

即函数的最小值小于-3.