【题目】如图,在三棱柱中,侧面为边长为的菱形,侧面为矩形,其中且,平面,点为的中点.
(1)证明:平面;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
(1)由为菱形和,可得为等边三角形,进而证明,又平面,可得,进而可得平面;
(2)由(1)可得,平面,建立空间直接坐标系,通过为边长为的菱形和,求点F,A,C,E的坐标,进而求平面的法向量,得出二面角的余弦值.
(1)因为为菱形,所以
又因为,所以为等边三角形,
点为的中点,所以;
又因为平面,面,所以;
因为,
所以平面.
(2)
由(1)可知,,又因为为菱形,所以
因为平面,所以,
分别以所在的直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
,因为,所以,,
,,
设平面FAC的法向量为:
可得,令,可得, ;
设平面EAC的法向量为:
可得,令,可得,
;
二面角为锐角,所以二面角的余弦值为:
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【题目】某地区高考实行新方案,规定:语文、数学和英语是学生的必考科目,学生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目,则称该学生确定选考方案,否则称该学生待确定选考方案.例如学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目,则称学生甲确定选考方案.某校为了解高一年级450名学生选考科目的意向,随机选取30名学生进行了一次调查,统计情况如下表:
性别 | 选考方案确定情况 | 物理 | 化学 | 生物 | 历史 | 地理 | 政治 |
男生 | 有6人确定选考方案 | 0 | 1 | 2 | 6 | 6 | 3 |
有8人待确定选考方案 | 5 | 3 | 1 | 1 | 0 | 0 | |
女生 | 有10人确定选考方案 | 3 | 2 | 1 | 8 | 10 | 6 |
有6人待确定选考方案 | 5 | 4 | 1 | 0 | 0 | 1 |
(1)估计该校高一年级已确定选考方案的学生有多少人?
(2)写出确定选考方案的6名男生中选择“历史、地理和生物”的人数.(直接写出结果)
(3)从确定选考方案的6名男生中任选2名,试求出这2名学生选考科目完全相同的概率.
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【题目】某市举行“中学生诗词大赛”,分初赛和复赛两个阶段进行,规定:初赛成绩大于90分的具有复赛资格,某校有800名学生参加了初赛,所有学生的成绩均在区间内,其频率分布直方图如图.
(Ⅰ)求获得复赛资格的人数;
(Ⅱ)从初赛得分在区间的参赛者中,利用分层抽样的方法随机抽取人参加学校座谈交流,那么从得分在区间与各抽取多少人?
(Ⅲ)从(Ⅱ)抽取的人中,选出人参加全市座谈交流,设表示得分在区间中参加全市座谈交流的人数,求的分布列及数学期望E(X).
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【题目】新型冠状病毒(SARS-COV-2)是2019年在人体中发现的冠状病毒新毒株,主要通过呼吸道飞沫进行传播,鉴于其特殊的传播途径,某科学医疗机构发现一次性医用口罩起着一定的防护作用一般,口罩在投入市场前需做一系列的检测,其中罩体污点、鼻梁条缺陷、耳绳异常等常规瑕疵肉眼可见,而耳绳尤为关键,会出现耳绳缺失、错位、错熔、漏熔四种情况 .现在生产商大多采用全自动生产线生产口罩,某工厂现有甲(1台本体机拖2台耳带机)和乙(1台本体机拖3台耳带机)两条生产线,已知甲生产线的日产量为7万只,乙生产线的日产量为10万只,生产商为了了解是否有必要更换原有的甲生产线,在设备生产状况相同,不计其他影响的状态下,分别统计了两条生产线生产的1000只口罩的耳绳情况,得到的统计数据如下:
耳绳情况 | 合格 | 缺失 | 错位 | 错熔 | 漏熔 |
甲生产线 | 950 | 9 | 19 | 11 | 11 |
乙生产线 | 900 | 19 | 35 | 25 | 21 |
(1)从乙生产线生产的1000只口罩中随机抽取3只,将合格品的只数记为,求的分布列和数学期望;
(2)假设口罩的生产成本为0.4元/只,若耳绳发生缺陷时可通过人工修复至合格来挽回损失。耳绳缺失、漏熔时人工修复费为0.01元/只;错位与错熔时需更换耳绳,其中耳绳成本为0.06元/根,人工修复费为0.02元/只.
①以修复费的平均数作为判断依据,判断哪一条生产线在每日生产过程中挽回损失时所需费用较少?
②若经一次检验就合格的口罩,生产商以1元/只的批发价销售给市场,经人工修复的打八折出售。以该工厂的日平均收入为依据分析该生产商是否有必要更换甲生产线?
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【题目】纸张的规格是指纸张制成后,经过修整切边,裁成一定的尺寸.现在我国采用国际标准,规定以、、、、、…等标记来表示纸张的幅面规格.复印纸幅面规格只采用系列和系列,其中系列的幅面规格为:①、、、…、所有规格的纸张的幅宽(以表示)和长度(以表示)的比例关系都为;②将纸张沿长度方向对开成两等分,便成为规格,纸张沿长度方向对开成两等分,便成为规格,…,如此对开至规格.现有、、、…、纸各一张.若纸的宽度为,则纸的长度为______;、、…、八张纸的面积之和等于______.
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【题目】已知圆:,:,动圆C与圆,都相切,则动圆C的圆心轨迹E的方程为________________;斜率为的直线l与曲线E仅有三个公共点,依次为P,Q,R,则的值为________.
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【题目】记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”.已知椭圆,以椭圆的焦点为顶点作相似椭圆.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆交于两点,且与椭圆仅有一个公共点,试判断的面积是否为定值(为坐标原点)?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
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