Question

已知函数 
（I）函数在区间上是增函数还是减函数？证明你的结论；
（II）当时，恒成立，求整数的最大值；
（Ⅲ）试证明： 

Answer 1

（Ⅰ）在区间上是减函数；（Ⅱ）；（Ⅲ）详见解析

解析试题分析：（Ⅰ）求导即得；（Ⅱ）将分离参数得：在上恒成立，取，则，接下来就利用导数求的最小值  注意到题中要求k为整数，说明只需找出这个最小值所在的整数区间，而不用求出这个最小值
（Ⅲ）注意用前面的结论 由（Ⅱ）可得k的最大值为3，取k=3得：，
待证不等式等价于：
 
再对照，显然应考虑将此不等式变形：
，
再令，
这样依次取再将所得不等式相加即得  
试题解析：（Ⅰ）由题        2分
故在区间上是减函数;    3分
（Ⅱ）当时，恒成立，即在上恒成立，取，则，        5分
再取则
故在上单调递增，
而，      7分
故在上存在唯一实数根，
故时，时，
故故     8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：
令，      10分
又

                 12分

即：          14分
考点：1、导数的应用；2、不等式的证明