Question

【题目】已知椭圆：的离心率为，圆的圆心与椭圆C的上顶点重合，点P的纵坐标为．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若斜率为2的直线l与椭圆C交于A，B两点，探究：在椭圆C上是否存在一点Q，使得，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在.

【解析】

（2）求出圆心的坐标，得到.结合椭圆的离心率及列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆的标准方程.（2）首先假设存在这样的点，设出的坐标以及直线的方程，得到两点的坐标，代入，联立直线的方程和椭圆方程，求得判别式.将点坐标代入椭圆方程，同样求其判别式.两次求得的判别式没有交集，故不存在这样的点.

（1）由椭圆的离心率，则，b2=a2﹣c2=c2，

由x2+y2﹣2y=0的标准方程x2+（y﹣1）2=1，则b=1，c=1，a=，

∴椭圆的标准方程：；

（2）假设存在Q，使得满足，

设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线l：y=2x+m，

则Q（x0，y0），P（p，），则=（x1﹣p，y1﹣），=（x0﹣x2，y0﹣y2），

由，则，

，则，整理得：9x2+8mx+2m2﹣2=0，

则△=（8m）2﹣4×9×（2m2﹣2）=8（9﹣m2）＞0，解得：﹣3＜m＜3，①

则x1+x2=﹣m，y1+y2=2（x1+x2）+2m=m， 则x0=﹣m﹣p，y0=m﹣，

由Q（x0，y0）在椭圆上，则x02+2y02=2，

∴（﹣m﹣p）2+2（m﹣）2=2，整理得：9p2+16mp+8m2﹣m+32=0有解，

则△2=（16m）2﹣4×9（8m2﹣m+32）=648﹣32（m﹣）2≥0，

解得：3≤m≤12，② ①②无交集，因此不存在Q，使得．