Question

【题目】对于函数，定义f1（x）=f（x），fn+1（x）=f[fn（x）]（n∈N*），已知偶函数g（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），g（1）=0，当x＞0且x≠1时，g（x）=f2018（x）．

（1）求f2（x），f3（x），f4（x），f2018（x）；

（2）求出函数y=g（x）的解析式；

（3）若存在实数a、b（a＜b），使得函数g（x）在[a，b]上的值域为[mb，ma]，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）g（x）= ；（3）（﹣，0）.

【解析】

（1）根据函数关系代入计算进行求解即可；（2）由偶函数的定义，计算可得所求解析式；（3）根据函数奇偶性和单调性的性质，结合函数的值域关系进行求解即可．

（1）因为函数

定义f1（x）=f（x），fn+1（x）=f[fn（x）]（n∈N*），f1（x）=，

f2（x）=f[f1（x）]= =，（x≠0且x≠1），

f3（x）=f[f2（x）]= =x，（x≠0且x≠1），

f4（x）=f[f3（x）]= ，（x≠0且x≠1），

故对任意的n∈N，有f3n+i（x）=fi（x）（i=2，3，4），

于是f2018（x）=f3×672+2=f2（x）=1﹣，（x≠0且x≠1）；

（2）当x＞0且x≠1时，g（x）=f2018（x）=1﹣，

又g（1）=0，

由g（x）为偶函数，当x＜0时，﹣x＞0，g（x）=g（﹣x）=1+，

可得g（x）=；

（3）由于y=g（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），

又a＜b，mb＜ma，可知a与b同号，且m＜0，

进而g（x）在[a，b]递减，且a＜b＜0，

当a，b∈（0，1）时，g（x）=1﹣为增函数，

故，即m==，

得a﹣1=b﹣1，即a=b，与a＜b矛盾，∴此时a，b不存在；

函数y=g（x）的图象，如图所示．由题意，有，

故a，b是方程1+=mx的两个不相等的负实数根，

即方程mx2﹣x﹣1=0在（﹣∞，0）上有两个不相等的实根，

于是，解得﹣＜m＜0．

综合上述，得实数m的取值范围为（﹣，0）．