Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若关于的不等式在上恒成立，且，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为. （2）

【解析】

（1）对函数进行求导，利用导数判断函数的单调性即可；

（2）令，由，可得，利用分析法和放缩法的思想，通过构造函数，利用导数判断函数的单调性求最值证得当时，对任意，都有即可.

（1）依题意，，，

令，即，解得，

故当时，，

当时，，

当时，，

故函数的单调递增区间为和，

单调递减区间为，

（2）令，

由题意得，当时，，则有，

下面证当时，对任意，都有，

由于时，，

所以当时，，

故只需证明对任意，都有，

令，则，

所以在上恒成立，

所以函数在上单调递增，

所以当时，，即，

所以，则，

令，，则.

当时，，，

所以，即函数在上单调递增，

所以当时，，

所以对任意，都有.

所以当时，对任意，都有，

故实数的取值范围为.