Question

【题目】在中，，，沿中位线DE折起后，点A对应的位置为点P，.

（1）求证：平面平面DBCE；

（2）求证：平面平面PCE；

（3）求直线BP与平面PCE所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

（1）由直角及中位线可得,,即可证得平面PBD,进而求证；

（2）以D为原点,过D作平面DBCE,DB,DE,DH所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,分别求得平面和平面PCE的法向量,由法向量垂直即可证明两平面垂直；

（3）由（2）可得与平面PCE的法向量,利用向量的数量积求解即可.

（1）证明:,,

,,

,,

又平面PBD,平面PBD,,

平面PBD,

平面DBCE,

平面平面DBCE.

（2）证明:以D为原点,过D作平面DBCE,DB,DE,DH所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,

设,则,

所以,,,,

所以,,,

设平面BPC的法向量,则,即,

令,则,所以,

同理,设平面PCE的法向量,则,即,令,则,所以,

因为,所以,

所以平面平面PCE.

（3）由（2）知,,平面PCE的法向量为,

所以,

所以直线BP与平面PCE所成角的正弦值为.