Question

【题目】已知两定点，，点P是平面内的动点，且，记动点P的轨迹是W.

（1）求动点P的轨迹W的方程；

（2）圆与x轴交于C，D两点，过圆上一动点K（异于C，D点）作两条直线KC，KD分别交轨迹W于G，H，M，N四点.设四边形GMHN面积为S，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）设，，则易知：，，则，，由此可得，知点轨迹是椭圆，从而可得标准方程；

（2）由即，过点且平行于的直线交椭圆为、两点，由椭圆的对称知：，因此求出即可得，设的方程为：，由椭圆中的弦长公式（韦达定理求解）得，同理有，

，设，把用表示后求出取值范围，然后再得的范围．

解：（1）设，，则易知：，，

则，，

由知：，

则P的轨迹是以，为焦点且长轴长为4的椭圆，，

则P的轨迹W的方程为：；

（2）由即，，的斜率存在且不为零，两直线分别过，，设，的斜率分别为k、，则：.

设过点且平行于的直线交椭圆为、两点，的斜率，

由椭圆的对称知：，

设的方程为：，由得：，

易知恒成立，设，，则，，

故，

同理得：，

则，

令，则，

故，则的取值范围为.