Question

【题目】已知集合M是满足下列性制的函数f（x）的全体，存在实数a、k（k≠0），对于定义域内的任意x均有f（a+x）=kf（a﹣x）成立，称数对（a，k）为函数f（x）的“伴随数对”．
（1）判断f（x）=x2是否属于集合M，并说明理由；
（2）若函数f（x）=sinx∈M，求满足条件的函数f（x）的所有“伴随数对”；
（3）若（1，1），（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”，当1≤x＜2时，f（x）=cos（ x）；当x=2时，f（x）=0，求当2014≤x≤2016时，函数y=f（x）的解析式和零点．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=x2的定义域为R．

假设存在实数a、k（k≠0），对于定义域内的任意x均有f（a+x）=kf（a﹣x）成立，

则（a+x）2=k（a﹣x）2，化为：（k﹣1）x2﹣2a（k+1）x+a2（k﹣1）=0，

由于上式对于任意实数x都成立，∴ ，解得k=1，a=0．

∴（0，1）是函数f（x）的“伴随数对”，f（x）∈M

（2）解：∵函数f（x）=sinx∈M，

∴sin（a+x）=ksin（a﹣x），∴（1+k）cosasinx+（1﹣k）sinacosx=0，

∴ sin（x+φ）=0，

∵x∈R都成立，∴k2+2kcos2a+1=0，

∴cos2a= ， ≥2，

∴|cos2a|≥1，又|cos2a|≤1，

故|cos2a|=1．

当k=1时，cos2a=﹣1，a=nπ+ ，n∈Z．

当k=﹣1时，cos2a=1，a=nπ，n∈Z．

∴f（x）的“伴随数对”为（nπ+ ，1），（nπ，﹣1），n∈Z

（3）解：∵（1，1），（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”，

∴f（1+x）=f（1﹣x），f（2+x）=﹣f（2﹣x），

∴f（x+4）=f（x），T=4．

当0＜x＜1时，则1＜2﹣x＜2，此时f（x）=f（2﹣x）=﹣cos ；

当2＜x＜3时，则1＜4﹣x＜2，此时f（x）=﹣f（4﹣x）=﹣cos ；

当3＜x＜4时，则0＜4﹣x＜1，此时f（x）=﹣f（4﹣x）=cos ．

∴f（x）= ．

∴f（x）= ．

∴当2014≤x≤2016时，函数y=f（x）的零点为2014，2015，2016

【解析】（1）f（x）=x2的定义域为R．假设存在实数a、k（k≠0），对于定义域内的任意x均有f（a+x）=kf（a﹣x）成立，则（a+x）2=k（a﹣x）2 ， 化为：（k﹣1）x2﹣2a（k+1）x+a2（k﹣1）=0，由于上式对于任意实数x都成立，可得 ，解得k，a．即可得出．（2）函数f（x）=sinx∈M，可得：sin（a+x）=ksin（a﹣x），展开化为： sin（x+φ）=0，由于x∈R都成立，可得k2+2kcos2a+1=0，变形cos2a= ，利用基本不等式的性质与三角函数的单调性即可得出．（3）由于（1，1），（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”，可得f（1+x）=f（1﹣x），f（2+x）=﹣f（2﹣x），因此f（x+4）=f（x），T=4．对x分类讨论可得：即可得出解析式，进而得出零点．
【考点精析】本题主要考查了函数的值的相关知识点，需要掌握函数值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法才能正确解答此题．