Question

【题目】已知函数f（x）=sin2x+2 sin（x+ ）cos（x﹣ ）﹣cos2x﹣ ．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）求函数f（x）在[﹣ ， π]上的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）=sin2x+2 sin（x+ ）cos（x﹣ ）﹣cos2x﹣

=﹣cos2x+2 （ sinx+ cosx）（ cosx+ sinx）﹣ =﹣cos2x+2 （ + sin2x）﹣

= sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣ ），

令2kπ+ ≤2x﹣ ≤2kπ+ ，求得kπ+ ≤x≤kπ ，可得函数的减区间为[kπ+ ，kπ ]，k∈Z

（2）解：在[﹣ ， π]上，2x﹣ ∈[﹣ ， ]，故当2x﹣ = 时，函数f（x）取得最大值为2
【解析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数的减区间．（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在[﹣ ， π]上的最大值．
【考点精析】本题主要考查了正弦函数的单调性和三角函数的最值的相关知识点，需要掌握正弦函数的单调性：在上是增函数；在上是减函数；函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，才能正确解答此题．