Question

【题目】日照一中为了落实“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S的矩形AMPN健身场地．如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上，已知∠ACB=60°且|AC|=30米，|AM|=x米，x∈[10，20]．

（1）试用x表示S，并求S的取值范围；

（2）若在矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪．已知：矩形AMPN健身场地每平方米的造价为，草坪的每平方米的造价为（k为正常数）．设总造价T关于S的函数为T=f（S），试问：如何选取|AM|的长，才能使总造价T最低．

Answer 1

【答案】（1）（2）12米或18米

【解析】

试题（1）根据题意，分析可得，欲求健身场地占地面积，只须求出图中矩形的面积即可，再结合矩形的面积计算公式求出它们的面积即得，最后再根据二次函数的性质得出其范围；

（2）对于（1）所列不等式，考虑到其中两项之积为定值，可利用基本不等式求它的最大值，从而解决问题．

解：（1）在Rt△PMC中，显然|MC|=30﹣x，∠PCM=60°

∴|PM|=|MC|tan∠PCM=（30﹣x），…2分

矩形AMPN的面积S=|PM||MC|=x（30﹣x），x∈[10，20]…4分

于是200≤S≤225为所求．…6分

（2）矩形AMPN健身场地造价T1=37k…7分

又△ABC的面积为450，即草坪造价T2=S）…8分

由总造价T=T1+T2，∴T=25k（+），200≤S≤225．…10分

∴T=25k（+），200≤S≤225

∵+≥12，…11分

当且仅当=即S=216时等号成立，…12分

此时x（30﹣x）=216，解得x=12或x=18，

所以选取|AM|的长为12米或18米时总造价T最低．…14分．