Question

【题目】若过点可作曲线的切线恰有两条，则的最小值为__________

Answer 1

【答案】

【解析】

求出f（x）的导数，设切点（x0，f（x0）），求得切线的方程，代入切点，整理化简可得2x03﹣（3+3a）x02+6ax0+b=0（*）由条件切线恰有两条，方程（*）恰有两根．令u（x）=2x3﹣（3+3a）x2+6ax+b，求出导数，求得极值点，令其中一个极值为0，可得3a+b=1，运用乘1法和基本不等式，计算即可得到所求最小值．

f′（x）=3x2﹣6x，

过点P（a，b）作曲线的切线，

设切点（x0，f（x0）），则切线方程为：y﹣b=（3x02﹣6x0）（x﹣a），

将（x0，f（x0））代入得：f（x0）=（3x02﹣6x0）（x0﹣a）+b=x03﹣3x02，

即2x03﹣（3+3a）x02+6ax0+b=0（*）

由条件切线恰有两条，方程（*）恰有两根．

令u（x）=2x3﹣（3+3a）x2+6ax+b，u′（x）=6x2﹣（6+6a）x+6a=6（x﹣a）（x﹣1），

可得u（1）=0或u（a）=0，

即有3a+b=1或b=a3﹣3a2（舍去），

则=（3a+b）（）=4++≥4+2=4+2，

当且仅当b=a=时，取得等号．

即有的最小值为4+2，

故答案为：4+2