Question

【题目】已知函数，若点在的图像上运动，则点在的图象上运动

（1）求的最小值，及相应的值

（2）求函数的解析式，指出其定义域，判断并证明在上的单调性

（3）在函数和的图象上是否分别存在点关于直线对称，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由

Answer 1

【答案】（1）的最小值为2，对应的为0；（2），定义域为，，单调递增，证明见解析；（3）存在

【解析】

（1）写出的解析式，依据基本不等式性质即可求解；

（2）根据点的关系求出解析式，写出的解析式即可判断单调性；

（3）设两点的坐标根据位置和对称关系列方程组求解.

（1），当且仅当即时，等号成立，即的最小值为2，对应的为0.

（2）设图象上点，由题：，所以

点在的图像上运动，则，

所以，，由得其定义域为

所以，定义域为

在定义域内为增函数，证明如下：

任取，根据指数函数和对数函数单调性有：

，，

，

即

所以在定义域内是增函数.

（3）假设函数和的图象上分别存在点关于直线对称，

设其坐标，则有：

解得：

故在函数和的图象上分别存在点关于直线对称.