Question

【题目】已知函数，.

（1）当时，求函数的单调递增区间；

（2）若函数只有一个零点，求实数的取值范围；

（3）当时，试问：过点存在几条直线与曲线相切？

Answer 1

【答案】（1）和； （2）；

（3）当时，过点有1条直线与曲线相切；当时，过点有2条直线与曲线相切；当时，过点有3条直线与曲线相切.

【解析】

（1）当时，，分别求出在两段区间上的单调递增区间即可.

（2）.当时，函数单调递增；当时，由得，分和具有不同的大小关系两种情况去判断函数的单调性，再根据单调性判断零点的个数情况即可。

（3）当时，设切点为，切线的斜率，得到方程 ，化简得.再判断出方程无解，即没有符合题意的切线.当时，同理可得：，判断出方程解的个数，即为存在的切线条数.

（1）当时，，

当时，，由得：或，又，

所以， 或，即在和上单调递增；

又时，恒成立，故在上单调递增；

综上可知，函数的单调递增区间为和.

（2）.

当时，，因为，所以恒成立，即函数在上单调递增；

当时，，因为，由得，

①若，即时，函数在上单调递增，在单调递减，在上单调递增.

因为函数只有一个零点，且，

所以只要，解得.

①若即时，函数在上单调递增，在单调递减，

在上单调递增.

因为，，所以函数有两个零点，不合题意.

综上可知，实数的取值范围是.

（3）当时，设切点为，因为切线的斜率，所以，化简得.

令，则，

因为，所以，从而函数在上单调递增，

又，此时函数在没有零点，即没有符合题意的切线.

当时，同理可得：，令，则，

因为，所以函数在单调递增，在单调递减，在单调递增，

因为，，，

又由知，，

所以，当时，，，故函数只有1个零点，即符合题意的切线只有1条；

当时，，，故函数有2个零点，即符合题意的切线有2条；

当时，，，故函数有3个零点，即符合题意的切线有3条；

综上可知，当时，过点有1条直线与曲线相切；

当时，过点有2条直线与曲线相切；

当时，过点有3条直线与曲线相切.